答えにどうやって近付くか

数値解析とは、数学破りなどで、答えに近付く方法のことだ。

 

方程式を立てることができても、解くことができない場合は、近似式を使って解に近付く必要があるが、それが数値解析だ。

 

数値解析には様々な方法があるが、有名なのは二分法とニュートン法だ。

 

2分法もニュートン法も、ウィキペディアで調べてもらうと載っているので、興味があったら見ておくと良い。

 

で、簡単に説明すると、2分法とは、こうだ。

 

まず、ある範囲にf(x)=0となる解xが1つだけあることがわかっているとする。

 

理系だったら数3の平均値の定理のところで、連続関数の単調増加関数とか単調現象関数についてやったはずだが、あれである。

 

で、解xの近似値を求めるときに、どうしたらいいか?

 

それはまず、f(x)<0 となる点Aと、f(x)>0となる点Bを見つけて、その中点Mを取る。

 

で、f(M)を計算してみてf(M)>0だったら解はAM間にあり、f(M)<0だったら、解はMB間にあることが分かる。

 

そこで新たに、解がある方の範囲の中点M1をとる。
で、f(M1)を計算して、これが正になったらM1より左にあって、負になったら右にあることがわかる。

 

そしてまた中点M2をとって...ということを、延々くり返す。

 

単純だけど、こうやって解に近づいていくわけだ。


 

2分法の場合は、単純に中点をとるが、ニュートン法の場合は、関数の接線を使う。

 

思い切ってイメージだけ書くとすると、範囲の両端を結んで直線を作る。

 

この直線とx軸が交わるところ(x切片)を考えて、解がそのx切片の右にあるか左にあるかを考える。

 

でまた、狭くなった範囲の両端を結んで直線を作り、解がそのどちら側にあるかを考えていく...という感じだ。

 

(※この説明は、かなり雑で、実際はもっと複雑だけど。)

 

ニュートン法は、直線や切片を計算しないといけないけれど、2分法よりニュートン法の方が、少ない回数で解に近づけるという。

 

まあそういう説明はともかくとして、とにかくまず真ん中から考えてみるって言うのがポイントだ。

 

でもって、真ん中より左半分に答えがあるのが分かったら、左半分をさらに半分にして考える。

 

これが2分法というやり方であり、それをもっとスマートにしたのがニュートン法だ。コンピューターというのは、こういう風に近似値を計算するわけだ。

 

コンピューターは、答えがどうだこうだと悩まず、手順通りやるだけだ。だから迷わない。
選択肢は1コしかなく、しかもそれをやるしかないわけだからね。

 

ただ、どこで終わりにするか決めておかないと、延々計算し続けることになるけど。

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