総価値最大化原理(2)

総価値最大化原理(2)

総価値最大化原理(2)

価値最大化のロジック(資産効果がない場合)
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 二人の人間が金や資本を投入して事業を行うとする。
 そしてその結果得た所得をそれぞれ分配するとする。

 

 投入量の合計をyとし、それによって得られた収入をPyとする。

 

 この時二人に分配する収益をそれぞれ x1、x2とすると、当然

 

       x1+x2=Py

 

となる。

 

 ここで二人の投入した投入物(お金とか労働とか建物とか機械と
か)を金銭で表したものをv1、v2とすると、二人が事業を行って得
た利益は、それぞれ x1-v1、x2-v2 となる。

 

 もちろんこの時v1+v2=v(y)である(v(y)はyの金銭額表記)。

 

 さてそうすると二人の受け取った便益の合計はどうなるか?

 

 x1+x2-(v1+v2) = Py - v(y)

 

 つまり右辺はyだけの関数となり、x1とx2をどう配分しても総価
値はyにしか依存しない。つまり儲けと配分は関係ない。

 

 

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数学的モデル(間違ってるかも知れないけど)
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(章末問題1)※詳しい問題は省略
共有物への投資総額:y

 

家族1の受ける便益:5y-(1/2)y^2
同 2      :5y-(1/2)y^2
同 3      :7y-(1/2)y^2
同 4      :4y-y^2

 

便益合計:21y-(5/2)y^2
投入合計:y
よって差し引き便益:20y-(5/2)y^2
この放物線は上に凸の曲線で、最大になるのはy=4の時。
よってy=4

 

(章末問題2)※詳しい問題は省略
投入合計は4だから、均等に負担すれば各家族の出費は1。
そうすると家族4の受ける差し引き便益は4y-y^2-1だから、y=4
のとき -1 となるので、拒否される。

 

 y=4のとき差し引き総価値は 20*4-(5/2)4^2=40だが、
均等出資の場合家族4の差し引き便益が0以上にならねばならない
が、その時のyの範囲は0≦y≦15/4で、yは4に近いほど総
価値が大きくなるのでy=15/4。

 

計算は省略するが、この場合の総価値は28.7で40と比べれば三
割も減ってしまう。

 

 

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総価値最大化原理の応用
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 上の計算例でもわかるように、投入する対象は何でも構わない。
 何かを新しく行う場合のインプットをy、アウトプットを総価値
Uとして差し引きの便益が最大になる場合を考えればパレトー最適
ということになる。結構応用が利く。

 

(つづく)
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          今日のまとめ

 

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 資産効果がない場合、総価値はインプットの関数であり、配分と
は切り離して考えることができる。これを総価値最大化原理という。

 

 ただしインプットを均等負担にした場合、各人の受け取る差し引
き便益がプラスになるとは限らない。

 

 均等負担の場合には、総価値は最大化するとは限らない。
(→フリーライダーがいても、総価値は最大化する場合もある)

 

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           今日の……

 

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 計算問題は疲れる。けど、この原理の意味は良く理解できる。

 

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