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いかにして問題を解くか（３）
問題の既知のものと未知のものとの関連を見つけ出せたなら、次に問題を解くためのプランを立てます。
問題を解く一番手っ取り早い方法は、それと同じ問題を解いた経験を思い出すことです。
問題集に載っている「基本問題」「頻出問題」なんていうのが、それに当たりますね。
問題を解く最初のステップが、全く同じような問題を解いたことがあるかどうか、思い出すことです！
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●関連を見つけて、プランを立てる
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問題の既知のものと未知のものとの関連を見つけ出せたなら、次に問題を解くためのプランを立てます。
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★計画を立てる（１）
以前にそれを見たことがないか？ 同じ問題を少しちがった形でみたことがあるか？ …を、まず考える。
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問題を解く一番手っ取り早い方法は、それと同じ問題を解いた経験を思い出すことです。
問題集に載っている「基本問題」「頻出問題」なんていうのが、それに当たりますね。
問題を解く最初のステップが、全く同じような問題を解いたことがあるかどうか、思い出すことです！
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★計画を立てる（２ ）
似た問題を知っているか、役に立つ定理を知っているか、考えよ！
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そっくり同じような問題を解いた経験がなければ、何となく似ているような問題を解いたことがないか、思い出します。
似たような問題から答えを導き出す…こういうのをアナロジー（類比）と言いますが、要するに「何が似ているのか、すぐにはハッキリしないが、とにかく似た問題を思い出してみる」ということですね。
そして問題の意味が分かっても、それを解くための定理を理解していなければ、話になりません。
『大学への数学・スタンダード演習』に書いてある定理や準定理などは、いつでも使えるようにしっかり練習しておく必要があります。
できれば「マスター・オブ・整数」などの本も、しっかりやっておいた方が、二次試験対策には有効です。
また中線定理やメラネウスの定理など、中学時代に習った幾何の定理なども、しっかり覚えて使えるようにしておかなければなりません。
決定問題（数値など、当てはまるモノが何かを答える問題）であっても、こういう定理を用いると、あっと言う間に答えが出せるような問題も、かなりたくさんあります。
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★計画を立てる（３）
未知のものをよく見よ！
そうして同じか、よく似ている見慣れた問題を思い出せ！
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問題は違っても、何を求めるかによって解法のパターンは似通ってきます。
たとえば表面積を求める問題なら、どんな問題でもまず展開図を考えるでしょう？
体積を求めるなら、断面図や断面積を考えるでしょう？
長さを求めるなら、ベクトルや積分だけでなく合同や相似、三角関数や三平方なども有効な解法になります。これは平面図形であろうと空間図形であろうと、関数であろうと同じです。
ですから、求めるモノから解法パターンを思いつくこともあるのです。
実際のところ表面積を求めるなら、展開図を考える…というのは、高校受験までで、理系の受験生なら微小面積を考える…と言うことになるのでしょうが、そういうククリで問題を見るという観点は、同じです。
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★計画を立てる（４）
似た問題で、すでに解いた問題がここにある。それを使うことができないか、それを使うための補助要素を導入すべきかどうか、考えよ。
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未知の問題を解くために、参考にできそうな、既知の問題を思い出したとします。でもそのままでは、役に立ちません。
問題を分解したり、組み合わせたりすると言うことが必要になってきます。
たとえば三角関数の式などで、最大値を求めるような問題があった場合、
sin x ＝ ｔ
とおいて tの二次関数として解いたりしますね。
これは数学的な解法パターンに慣れていない時には、ものすごく違和感がある方法ですが、やっていること自体は三角関数の二次関数を、より簡単なタダの二次関数に置き換えて考えているだけです。
こういうのを補助要素・補助問題と言います。
補助要素や補助問題というのはまた、眼前にある複雑な問題を、簡単な問題に捨象して考えてみることも意味します。
たとえば小学生に ４ ．５ ６÷ 【イ】 ＝ ６ ．８ ３ の 【イ】 を求めるような問題などを解かせると、多くの子供が混乱しますが、
「じゃあ、 ６ ÷ 【イ】 ＝ ２ だったら？」
と聞くと、即座に３ という答えを出してきます。 そこですかさず
「じゃあ、どうやって３という答えが出たのかな？」
と尋ねると、
「あ、４ ．５ ６÷ ６ ．８３ かぁ！」ということに理解が及びます。
こんな風に数値などを簡単なモノに置き換えて考えてみるというのは、大学受験でも有効です。
数列で四項目五項目くらいまで大まかに計算してみて、何か規則性はないかとか調べるのも、アタリを取るという意味では、同様の作業です。
目の前の複雑な問題を、簡単な問題に変換したり、大まかに計算して考えてみるというのも、計画を立てるための有効な手段です。
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解法の検討
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問題の解法は、一通りとは限りません。
たとえば代数・幾何の問題などでは、ベクトルで解くか複素数平面で解くか、はたまたユークリッド幾何学などの定理を使って解くか、さまざまな解法経路が現れるでしょう。だから、どういう解法を使って解くのか、実行する前に少しだけ検討する必要がでてきます。
受験というのは、時間との戦いですし、点数を積み上げる競争です。だから
間違える ＜ 一部分でも正答を出す ＜ とにかく正答を出す
＜ スマートに速く正答を出す
と言うことになるのですが、合格するのに６５％の点数でいいなら、不確かでもとにかく答えが出る解法の方が良かったりします。
今回は、ポリア著「いかにして問題を解くか」を読む…の、６回目です
今回は、立てた計画を実行するという話です。
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●解法プランの検討と実行
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問題の解法は、一通りとは限りません。
たとえば代数・幾何の問題などでは、ベクトルで解くか複素数平面で解くか、はたまたユークリッド幾何学などの定理を使って解くか、さまざまな解法経路が現れるでしょう。だから、どういう解法を使って解くのか、実行する前に少しだけ検討する必要がでてきます。
受験というのは、時間との戦いですし、点数を積み上げる競争です。
だから
間違える
＜ 一部分でも正答を出す
＜ とにかく正答を出す
＜ スマートに速く正答を出す
と言うことになるのですが、合格するのに６５％の点数でいいなら、不確かでもとにかく答えが出る解法の方が良かったりします。
私などは本番ではなかなかスマートな解法が思い出せないタチなので、計算量がかなり多くともガリガリやってしまいますが、これは悪い癖です。
問題を見て解法パターンを思い出すトレーニングをしっかり積んでおけば、だんだんスマートな解法が思い浮かぶようになれます。
仕事柄、毎年同じ問題を解くようになってみると、それを強く感じます。
そうして実行するプランが決まったら、もうとにかくドンドン計算していきます。
もちろん途中でその計算が妥当なものか、確かめながらやる必要もありますが。
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●答えが妥当なものか、検討する
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出した答えが妥当なものか、少なくとも必要条件を満たしているかということは、検討する必要があります。
たとえば問題に与えられた条件で、使っていない条件があったとしたら、たいていはどこかで間違っていることでしょう。
また予想より数値がはるかに大きかったり、或いは小さかったりした場合も、どこかで間違っているか勘違いがあったかでしょう。
もちろん、使わない条件も含まれている問題というのも、たまにあります。
そういう問題に出くわすと、ものすごく不安になりますし、答えを見て合っていても、釈然としません。
ですが難関大学の入試問題というのは、過不足なく条件が与えられている場合が殆どですから、その点は安心して良いでしょう。
受験というのは、点数を積み上げる競争ですから、どれだけ頑張っても０点では意味がありません。
だから時間がかかっても、答えが妥当なものかはちゃんと検討しなければダメです。
こういうことは、普段問題を解くときから癖にしておかなければ、身に付きません。
答えを見る前に、もう一度その答えでよいのか、必ず検討しましょう。
でないと本番だけ検討しようと思っても、まずできませんし、何よりも勘が働きません。
勘が働くというのも、問題を解く上では大事な要素ですし、数学ができる・できないも、そこにかかっていると言えます。
