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いかにして問題を解くか（２）
問題を理解するためには、さまざまな角度から検討しなければなりません。
問題が何を求めているのか、初めはまるでわからないような問題もたくさんあります。だからそれをまず、突き止める必要があります。そのためにやるべきことについて「いかに問題を解くか」では、いくつかのポイントを挙げています。
今回は、ポリア著「いかにして問題を解くか」を読む…の、３回目です
数学の問題を解くには
理解 → 計画 → 実行 → 検討
という四つのステップがあるといいます。
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●未知のものは何か？ 与えられているデータは何か？ 条件は何か？
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問題を理解するためには、さまざまな角度から検討しなければなりません。
問題が何を求めているのか、初めはまるでわからないような問題もたくさんあります。だからそれをまず、突き止める必要があります。そのためにやるべきことについて「いかに問題を解くか」では、いくつかのポイントを挙げています。
前項でも述べましたが、まず求められている答えが何か、ハッキリさせます。
数学以外のセンター試験などではよく、
「正しいものを選べ」
とか
「誤っているものを選べ」
「適切でないものを選べ」
などという、紛らわしい設問があります。
こういう場合、正しいものを選ぶのか誤っているものを選ぶのか、まずその部分に○をつけて、何を答えるのかをハッキリ印を付けておく必要があります。
そうしなければ、間違った選択肢を選んでしまいます。
数学でも紛らわしい表現があります。
「この図形の面積を求めよ」
「この図形の周の長さを求めよ」
「回転体の体積を求めよ」
「表面積を求めよ」
とでは、求めるものがまるで違いますから、同様の工夫が必要でしょう。
そして与えられているデータや条件にも、しっかり印を付けておきましょう。
こういう風に、大事なところにマークをするという行為は、脳に重要なシグナルを与えます。
つまりマークをした時点で、脳は無意識にそれに関する知識を探し始めるのです。
問題を解いている最中に、足りない条件を探すような場合にも、マーキングは非常に役に立ちます。
条件が足りないな…と思って問題文を読み返すとき、マークがしてあるとすぐに見つけられるでしょう？
私の教えている生徒でも、マーキングを確実にやる生徒はどんどん上達しますが、バカにしてやらないような生徒は、なかなか成績が上がりません。
脳の性質を利用した、能率のいい方法を教えているのに、やることが単純で子供っぽいからとバカにしていたら、そんなもんです。
素直な人の方が、何でも上達は速いのです。
マーキングは、必ずやりましょう。
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既知のモノと未知のモノを切り分けろ！
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いろいろな項目が、おたがいにどんなに関連しているか、また、わからないことが、わかっていることと、どのように結びついているかを知ることが、解がどんなものであるかを知り、計画を建てるために必要である。（「いかにして問題を解くか」より）
「既知のもの」というのは、
★「問題文の中で与えられた情報」と
★「問題文には書かれていないが、知っていて当然である知識」
のことです。
たとえば問題中に、「△ABCはAB=ACである二等辺三角形である。」などと書いてあるのが、問題文中から得られる既知の情報です。
一方「二等辺三角形の底角は等しい、逆に二角が等しい三角形は二等辺三角形である」などという知識（定理）などは、文外の知識です。
今回は、ポリア著「いかにして問題を解くか」を読む…の、４回目です
★「いかにして問題を解くか」
数学の問題を解くには
理解 → 計画 → 実行 → 検討
という四つのステップがあるといいます。
今回は、プランを立てるという話の一回目です。
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●既知のものと、未知のものとの関連を見つける
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いろいろな項目が、おたがいにどんなに関連しているか、また、わからないことが、わかっていることと、どのように結びついているかを知ることが、解がどんなものであるかを知り、計画を建てるために必要である。
（「いかにして問題を解くか」より）
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「既知のもの」というのは、
★「問題文の中で与えられた情報」
と
★「問題文には書かれていないが、知っていて当然である知識」
のことです。
たとえば問題中に、「△ABCはAB=ACである二等辺三角形である。」などと書いてあるのが、問題文中から得られる既知の情報です。
一方「二等辺三角形の底角は等しい、逆に二角が等しい三角形は二等辺三角形である」などという知識（定理）などは、文外の知識です。
先ほどの例題ですと「円に内接する四角形」が与件なら「対角の和が１８０°」というのは知っておかなければならない知識ですね（この問題で使えるかどうかは別の話として）。
そしてもう一方の「未知のもの」というのは、もちろん、問題の答えのことです。
が、その他にも、その問題の背景になっている数学現象なども挙げられます。
入試で出題される問題は、たいてい何かの数学現象から題材を取っていますが、よく出題される一つに「フィボナッチ数列」というのがあります。
フィボナッチ数列というのは簡単な漸化式の数列ですが、偶数項と奇数項で挙動が異なります。
しかも数列の各項の係数は自然数なのに、一般項はなんと＜無理数＞で記述されるという、不思議な数列です。
さらに隣り合う項の比を無限大に収束させると、なんと正五角形の対角線などに現れる「黄金比」になってしまうというものです。
こういう不思議な現象は面白いし、受験生を惑わすのに格好の題材なので、さまざまな形で出題されます。
たとえば『大数学者に学ぶ入試数学１Ａ』（秋山仁編、数研出版）には、
★ウサギの頭数の増え方
★タイルの敷き詰め方、
★階段の登り方
という三種類の問題が載っていますが、たしか私が受験した頃の京大の確率の問題などでも、似たような問題があったように記憶しています。
こういう数列が存在するというのは、普通の受験生にとっては未知のモノですから、答えに「これはフィボナッチ数列であるから、一般項は●●で…」とは書けませんが、フィボナッチ数列を背景に持つ問題なら、この数列を知っているかどうかは、非常に大きな差になってしまいます。
たとえば一般項を計算していて、途中から無理数がゴチャゴチャ出てきたときに、フィボナッチ数列を知っている人は
「よしよし…合ってるな。順調・順調」
と思う一方で、知らない人は
「ええっ、なんで無理数のｎ乗なんかでてくるんや？ オレの計算どっかで間違うとるのか？？？」
と逆に不安になる可能性が大きいですから、それだけで天と地ほども違ってきます。
因みに私は後者の方でしたが、途中の検算にものすごい時間を使って、落ちたような…。
そういうわけで、フィボナッチ数列を知っておれば、解の形の大まかなイメージを作ることができる一方で、知らなければ何のことかサッパリという状態ができることになります。
知識があることによって、問題と解との関係が見えるわけですね。
難関大学に合格するためには、そうやって高校から一歩踏み出した知識も、必要になってくるのです。
★参照：
いかにして問題をとくか／
大学への数学解法の突破口／
